数学语言是精确的,它是如此精确,以致常常使那些不习惯于它特有的形式的人们觉得莫名其妙。如果一个数学家说: “今天我没看见一个人”(I did not see one person today),那么他的意思可能是,他要么一个人也没看见,要么他看见许多人。一般人则可能简单地认为他一个人也没看见。数学的这种精确性,在一个还没有认识到它对于精密思维的重要性的人看来,似乎显得过于呆板,过于拘泥于形式。然而任何精密的思维和精确的语言都是不可分割的。 数学风格以简洁和形式的完善作为其目标,但有时由于过分地拘泥于形式上的完美和简洁,以致丧失了精确竭力要达到的清晰。假定我们想用一般术语表述拉斯定理,我们很可能说: “有一个直角三角形,画两个以该三角形的直角边作为其边的正方形,然后再画一个以该三角形斜边作为其边的正方形,那么第三个正方形的面积就等于前两个正方形面积之和。”但是没有一个数学家会用这样的方式来表达自己的想法。他会这样说:“直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。”这种简洁的用词使表述更为精炼,而且这种数学表达式具有重要的意义,因为它的确是言简意赅。还有,由于这种惜墨如金的做法,任何数学文献的读者有时会发现自己的耐心受到了极大的考验。 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言,数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系,其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用,同时影响着政治学家和神学家的学说;满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想;甚至可能有时以难以觉察到的无可置疑地影响着现代历史的进程。在最广泛的意义上说,数学是一种精神,一种理性的精神,试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制大自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。 数学还有一个更加典型的特征与我们的论述密切相关。数学是一棵富有生命力的树,它随着文明的兴衰而荣枯。它从史前诞生之时起,就为自己的生存而斗争,这场斗争经历了史前的几个世纪和随后有文字记载历史的几个世纪,最后终于在肥沃的希腊土壤中扎稳了生存的根基,并且在一个较短的时期里茁壮成长起来了。在这个时期,它绽放出了一朵美丽的花朵 ——几何。其他的花蕾也含苞欲放。如果你仔细观察,还可以看到三角和代数的雏形;但是这些花朵随着希腊文明的衰亡而枯萎了,这棵树也沉睡了一千年之久。 这就是数学那时的状况。后来这棵树被移植到了欧洲本土,又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元 1600年,她又获得了在古希腊顶峰时期过的旺盛生命力,而且准备开创史无前例的光辉灿烂的前景。如果我们将17世纪以前所了解的数学称为初等数学,那么我们能说,初等数学与从那以后创造出的数学相比是微不足道的。事实上,一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识,在今天不会被认为是一个数学家。因为与普通的观点相反,现在应该说数学是从微积分开始,而不是以此为结束。在我们这个世纪,这门学科已具有非常广泛的内容,以致没有任何数学家能够他已精通全部数学。 (有删改)