设正数数列{a n }的前n项和为S n ,且对任意的n∈N*,S n 是a n 2 和a n 的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)在集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500}中,是否存在正整数m,使得不等式 S n -1005> a 2n 2 对一切满足n>m的正整数n都成立?若存在,则这样的正整数m共有多少个?并求出满足条件的最小正整数m的值;若不存在,请说明理由; (3)请构造一个与数列{S n }有关的数列{u n },使得 lim n→∞ ( u 1 + u 2 +…+ u n ) 存在,并求出这个极限值.