在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，直角梯形 AOCD 的顶点 A 的坐标为 （0， ），点 D 的坐标为（1， ），点 C 在 轴的正半轴上，过点 O 且以点 D 为顶点的抛物线经过点 C ，点 P 为 CD 的中点． （1）求抛物线的解析式及点 P 的坐标； （2） 在 轴右侧的抛物线上是否存在点 Q ，使以 Q 为圆心的圆同时与 轴、直线 OP 相切．若存在，请求出满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点 M 为线段 OP 上一动点（不与 O 点重合），过点 O 、 M 、 D 的圆与 轴的正半轴交于点 N ．求证： OM + ON 为定值． （4）在 轴上找一点H，使∠PHD最大．试求出点H的坐标．