令 是 中的单位圆块 ,有 的子拓扑. 令 P3 是 的划分,它的成员有两种:(1){ x, -x}, 其中 |x|=1;(2)x, |x|<1 ( 为简洁,这集题目里把 {x} 写成 x ). 令 /P3 为 相对于 P3 的粘合空间 , /P3 是粘合空间定义里的投影. (这是射影平面的第三种定义.)关于 Hausdorff 性质,以下那句话是真的?
A.
/P3 是 Hausdorff 的. 三种情况:(1)对 /P3 中两点 , 当 够小, 中的开球 和 就在 的内域(内部)里且没交,就是 x 和 y 在 /P3 中的不邻域. (2)对 /P3 中两点 {x,-x}, {y,-y}, |x|=|y|=1, . 当 够小, 与 是 {x,-x} 和 {y,-y} 在 /P3 中不的开邻域. (它们是开的: 是 中的开集.)(3)两点 {x,-x}, y, |x|=1, |y|<1. 类似于 (1)(2)中的讨论.
B.
/P3 是 Hausdorff 的, 但答案 A 中的理由不正确.
C.
/P3 不是 Hausdorff 的. 一般来说, Hausdorff 空间的粘合空间不一定是Hausdorff 的.