如图1，在等腰梯形 ABCO 中， AB ∥ CO ， E 是 AO 的中点，过点 E 作 EF ∥ OC 交 BC 于 F ， AO =4， OC =6，∠ AOC =60°.现把梯形 ABCO 放置在平面直角坐标系中，使点 O 与原点重合， OC 在 x 轴正半轴上，点 A ， B 在第一象限内． （1）求点 E 的坐标及线段 AB 的长； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点 P 作 PM ⊥ EF 交 OC 于点 M ，过 M 作 MN ∥ AO 交折线 ABC 于点 N ，连结 PN ,设 PE = x .△ PMN 的面积为 S . ①求 S 关于 x 的函数关系式； ②△ PMN 的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由.若存在，求出面积的最大值； （3）另有一直角梯形 EDGH （ H 在 EF 上， DG 落在 OC 上，∠ EDG =90°，且 DG =3， HG ∥ BC .现在开始操作：固定等腰梯形 ABCO ，将直角梯形 EDGH 以每秒1个单位的速度沿 OC 方向向右移动，直到点 D 与点 C 重合时停止（如图2）.设运动时间为 t 秒，运动后的直角梯形为 E ′ D ′ G ′ H ′（如图3）;试探究：在运动过程中，等腰梯 ABCO 与直角梯形 E ′ D ′ G ′ H ′重合部分的面积 y 与时间 t 的函数关系式.