A县某镇，本地人与外地人发生纠纷，继而发展到双方互相斗殴，民警、接警后先期到现场处置，参与斗殴的吸毒人员持砍刀袭击民警，和同时喝令制止，不听，仍然向砍来，拔枪射击，击中腹部致重伤倒地，并发现其随身携带有一小包毒品氯胺胴。A县公安局领导随后带领民警前往现场处置。参与斗殴的见有大批警察到来，就持械往围观人群跑去，民警喝令其站住，不理会继续逃跑，民警情急之下，拔枪鸣枪警告，听到枪声才停止逃跑被抓获。侦查期间，委托的辩护律师到A县公安局就的案情提出要求，侦查人员对律师说：“你不要和我们提什么要求，有什么要求以后在法庭上说吧。”请根据上述案情，回答问题：该案中本地人和外地人互殴的行为涉嫌什么罪名？若在互殴中造成重伤致死的，构成何罪名？请简述理由。