张某早年丧妻，有三子：、、。在张某的精心抚育下，三子先后成年离家工作。张某一直随次子生活，但也经常到、处小住。1986年5月20日，张某亲笔立下遗嘱，谓在其死后，老家的祖传房屋由继承，并经公证机关公证。1989年初，经体检发现张某身患癌症，住到长子处治疗。因伺候周到，张某便亲笔立下遗嘱，由继承其祖传房屋，并有签名，注明时间是1990年1月15日。1991年9月，张某病情加重，由护送回老家，路上对张某照顾细致，体贴入微。张某让将他抬至老家乡政府，口述遗嘱，由乡秘书作记录，并在其上签名，注明年、月、日。遗嘱内容是祖传房屋由继承。事隔不久，张某不治身亡。兄弟三人处理完后事后，各拿出遗嘱要求继承祖传房屋。问：张某的祖传房屋应由谁继承?为什么?