2006年6月5日下午，“时代超市”雇用的外地民工在搬运货物时，不慎将顾客的衣服碰脏，两人发生争吵。用购买的衣架砸向，引起群众围观，超市经理欲将双方拉开，用拳击打沈面部，遂电话报警。派出所民警到现场后，让先去医院看病，第二天与一起到派出所处理。6月6日，与到派出所，县医院出具的诊断证明（软组织挫伤）、病历、医疗费单据等交给办案民警，民警称工作忙，改日再作处理。6月7日、8日、9日，多次到派出所要求处理，民警工作忙为由推托。7月10日，民警通知双方到派出所调解。不同意，民警称：“不同意调解也行，但医疗费恐怕你一分也拿不到，这事也无法处理。”只好接受调解。调解中，否认拳击沈面部，不同意赔偿沈的医疗费。经民警向及围观群众调查，证实了的违法行为，同意赔偿医疗费等费用共计1000元。即与签订了治安调解协议，但当场没有支付赔偿金。事后多次找追讨赔偿金，以种种理由不履行协议。7月20日，找办案民警要求对进行处罚。民警以已调解，公安机关无法处理，建议去法院起诉。根据有关法律、法规、规章的规定，指出公安机关处理本案时存在哪些问题？