技术进步 练习,我们把技术进步加入到增长模型中。 a.现在假设随着时间的推移,每个工人越来越高效。为此,我们衡量有效工人的数量 L × E ,其中 E 以固定速度 g 增长。因此, Y=F(K,L× E) (8--1) E衡量了劳动的生产能力,取决于健康、经验和知识。回顾第 2 章的练习 5 ,两个变量乘积的百分比变动大约等于各个变量的百分比变动之和。这样,如果 L 的百分比变动 ( 即增长率)是 n , E 的百分比变动(即增长率)为 g ,那么 L × E 的百分比变动(及有效工人数量的增长率)大约等于 _______ + _______ 。 b.现在我们根据每个有效工人的人均产量来分析经济。令 k=K/(L × E) 代表每个有效工人的资本, y=Y/(L × E) 代表每个有效工人的产量。那么,可以再次写为 y=f(k) 。注意可以把 k 写 成 k= ( K/L ) /E 。假设人均资本量 K/L (和每个有效公认的资本不同)不随时间改变,劳动力效率每年提高 1% 。根据比率百分比变动的近似, k= ( K/L ) /E 的百分比变动等于 _____ — _____=______ 。那么,有效工人的人均资本量 k 每年将下降 _____% ,原因是同等数量的人均资本现在必须在更多的有效工人之间平均。如果加上有效工人的人均工资 i ,并且和之前一样假设折旧率δ =0.05 ,人口增长率 n=0.02 ,有效工人的人均资本存量变化将是 △ k=i —δ k — nk — gk=i — 0.05k — 0.02k — 0.01k 注意在式(8— 2 )中,如果 i 、δ和 n 都等于 0 , g=1% , k 每年将下降 _______% 。 C. 假设有效工人的人均投资在人均产量中所占比重不变,为s。假设 s=0.2. Δ k=sf ( k )—δ k — nk — gk =sf(k)— ( δ +n+g)k =0.2发( k )— 0.08k 假设f( k ) =k 1⁄2。利用 s 、δ和 n 的这些值完成表 8 — 1 。 d. 在图中8— 1 中,画出表中 8 — 1 中第 1 、 2 、 3 和 4 列的点,并用曲线把它们连接起来,分别标为 f ( k )、 sf ( k )和(δ +n+g ) k 。 e. 在稳定状态,有效工人的人均资本存量等于_____。重新整理方程( 8 — 3 ) , 稳态时, sf ( k ) =_______ 。在图 8 — 1 中,找到 k* 的稳态水平,标为 A 点。 用s、δ、 n 和 g 之前的值,计算 k* 的值,答案保留两位小数。 k*=______ f. 在稳定状态,有效工人的人均资本不变——也就是说,Δ k=0 , sf ( k ) = (δ +n +g) k 。与此类似,有效工人的人均产出不变,因为有效工人数以 g 的速度增长,然而,人均产出将以 ____ 的速度增长,所以在增长模型中,稳态人均产出的增长只取决于储蓄 / 折旧 / 技术变革率。 g. 因为工人数量以速度n增长,总产出将会以 _____+_____ 的速度增长。