实数完备性定理是指刻画实数在数轴上没有"洞",或者说无论进行加、减、乘、除还是极限运算或者其他任何运算之后得到的数仍然是实数(实数已是最大集,已没有“新数”可加进来)的性质。正因为实数集有完备性,极限理论有所有的收敛判定,有界性,不等式性质,性等等等等性质,进一步有微积分理论的建立。但实际上在微积分理论的发展史上,虽然微积分思想、极限思想的起源可以追溯到古希腊时期,但直到微积分理论被广泛应用到生产实际中时,其理论基础——极限理论以及实数理论都没有被完善。只是随着生产实践更进一步发展,才迫切需要完善其理论基础,更进一步得到发展。因此了完善的极限理论,最后了精确而完善的实数理论的诞生。因此实数完备性在微积分理论,进而在数学分析课程中是一个奠基理论,非常重要。 对实数完备性的刻画有六大基本定理,它们是互相等价,互相可证的(即若承认其中一个成立,则可用它证明另一个成立)。它们分别是: 、 、 、 、 、 ,另外之前学习过的致密性定理是其中 的特例。