任选5题做 第4章. 1.将1/7和1/13化成小数,计算出它们的循环节D各是多少位?将D的前k位(k=1,2,...)移到末尾,得到的整数是否D的整数倍? 计算D平均分成两段之和或3段之和,你发现什么规律? (仿射密码)将26个英文字母a,b,c,...,y,z依次用非负整数0,1,2,...,24,25代表.查出待加密的字母d对应的整数X,记Y=f(X)≡9X+1(mod26)为9X+1被26除得到的余数,则X对应的字母加密成Y对应的字母. 试将原文day加密求密文. 2.求Z_{26}={0,1,2,...,25}中的可逆元a的逆b,就是求b与a的乘积ab≡1(mod26),也就是ab被26除的余数等于1. 例如, 3×9=27≡1(mod26),则3的逆为9, 解方程3X≡Y-5时可以将等式两边同乘9消去3得到X≡9(Y-5). (1)求a=5,7,9的逆. (2)解方程Y≡9X+1求第2题的解密函数 X≡AY+B, 并用来求密文dgh的原文. 3. 找一篇英文文章,统计26个字母在其中各出现多少次,各占百分之几?哪个字母出现得最多4. (公开密钥)采用如下方式将每个小于91的正整数X加密成Y≡X^5 (mod 91), Y是X的5次幂被91除的余数. 一般的信息可以表示正整数,从个位开始每两位分成一段,每段小于91,分段加密.例如原文为2922,分别对29,22加密再凑成4位即得密文. (1) 将2922加密. (2) 将2922解密. (3) 将0529解密. 5. 由定理可以算出正整数a的正整数次幂a^x除以91的余数Y=a^x具有周期(7-1)(13-1)=72,也就是a^{x+72k}≡a^x(mod 91)对任意正整数x和整数k,x+72k和整数k成立. 试求出正整数d使5d=1+72k,则X=Y^d(mod 91) 就是第4题的解密函数. 6. 那契数列F(1),F(2),...,F(n)满足条件F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2). (1) 写出这个数列的前10项. (2) 求出各项除以2的余数组成一个数列,观察它是否周期性变化? 周期是多少? 7. 数列a(1),a(2),...,a(n)满足条件a(1)=a(2)=a(3)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-3). 将这个数列的各项除以2求余数得到数列b(1),b(2),...,b(n). 求证: 数列b(1),b(2),...,b(n)一定是周期数列.并求出它的周期. 8.i表示左转90度. i的立方根表示旋转多少度? 试写出i的全部立方根. 9.在有理数范围内分解因式x^{12}+x^9+x^6+x^3+1.